Чаро мо ба сифр тақсим намекунем?
Мундариҷа
Хонандагон шояд ҳайрон шаванд, ки чаро ман як мақолаи пурраро ба чунин як масъалаи ғайриоддӣ мебахшам? Сабаб он аст, ки шумори ҳайратангези донишҷӯён (!) тасодуфан бо ин ном амалиёт анҷом медиҳанд. Ва на танҳо донишҷӯён. Баъзан ман дастгир ва муаллимон. Шогирдони ин гуна муаллимон аз фанни математика чй кор карда метавонанд? Сабаби бевоситаи навиштани ин матн сӯҳбат бо муаллиме буд, ки тақсим ба сифр барои ӯ мушкил набуд...
Бо сифр, бале, ба истиснои давутози ҳеҷ чиз, зеро мо аслан лозим нест, ки онро дар ҳаёти ҳаррӯза истифода барем. Мо ба хариди тухми сифр намеравем. «Дар ҳуҷра як нафар ҳаст» гӯё табиӣ ва «сифр одам» сунъӣ садо медиҳад. Забоншиносон мегӯянд, ки сифр берун аз системаи забон аст.
Мо метавонем бидуни сифр дар суратҳисобҳои бонкӣ низ кор кунем: танҳо истифода баред - мисли дар термометр - сурх ва кабуд барои арзишҳои мусбат ва манфӣ (дар хотир доред, ки барои ҳарорат сурх барои рақамҳои мусбат ва барои суратҳисобҳои бонкӣ истифода бурдани он табиист. роҳи дигар аст, зеро дебет бояд огоҳиро ба вуҷуд орад, бинобар ин сурх тавсия дода мешавад).
Бо дохил кардани сифр ба адади натуралӣ мо ба масъалаи дифференсиатсия дахл мекунем Рақамҳои кардиналӣ od хочагй. Дар доираи 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..
кувваи шумора ба шумораи чои истодааш баробар аст. Дар акси ҳол, он аллакай дар пайдарпаии 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..
Шумораи маҷмӯаҳои синглтонӣ дар ҷои дуюм, шумораи маҷмӯи дорои ду унсури сеюм ва ғайра. Мо бояд фахмонем, ки чаро мо, масалан, чои варзишгаронро дар мусобикахо аз сифр ракам намедихем. Он гох сохиби чои якум медали нукра мегирифт (тилло ба сохиби чои сифр) ва гайра.. Дар футбол то андозае тартиби ба ин монанд истифода мешуд - Намедонам, Хонандагон медонанд, ки "лигаи якум" маънои " пайравӣ аз беҳтарин." ", ва лигаи сифр даъват карда мешавад "лигаи олӣ".
Баъзан мо баҳсеро мешунавем, ки мо бояд аз сифр оғоз кунем, зеро ин барои одамони IT қулай аст. Бо идомаи ин мулоҳизаҳо, таърифи километрро бояд тағир дод - он бояд 1024 м бошад, зеро ин шумораи байтҳо дар як килобайт аст (ба як шӯхие, ки олимони информатика маълуманд, ишора мекунам: «Фарқи байни донишҷӯи якум ва студенти информатика ва студенти курси панчуми ин факультет? ки килобайт 1000 килобайт, охирин — ки километр 1024 метр»)!
Боз як нуктаи назар, ки бояд аллакай ба таври чиддй кабул карда шавад, ин аст: мо хамеша аз сифр чен мекунем! Дар ченак, ба тарозуи хочагй, хатто ба хар як тарозу назар кардан кифоя аст. Азбаски мо аз сифр чен мекунем ва ҳисобкуниро метавон ҳамчун ченак бо воҳиди беандоза фаҳмидан мумкин аст, пас мо бояд аз сифр ҳисоб кунем.
Ин як масъалаи оддӣ аст, аммо ...
Биёед тафаккури умумиро тарк кунем ва ба таќсим ба сифр баргардем. Гап содда аст ва агар ин намебуд... пас чӣ хел? Биёед фикр кунем ва кӯшиш кунем. Он чӣ қадар буда метавонад - як ба сифр тақсим карда мешавад? Биёед бубинем: 1/0 = x. Ҳарду ҷонибро ба маҳраҷи тарафи чап зарб кунед.
Мо 1 = 0 мегирем. Чизе нодуруст аст! Чӣ шуд? Оҳ тахмин! Фарзия дар бораи мавҷудияти қисмати ваҳдат ва сифр боиси ихтилоф мегардад. Ва агар якеро ба сифр тақсим кардан имконнопазир бошад, рақами дигар метавонад. Агар, Хонанда, китф дархам дархам мезанед ва дар хайрат бошед, ки чаро муаллиф (яъне ман) дар бораи ин гуна гапхои табъй менависад, пас... Хеле шодам!
Формулаи 0/0 = 0-ро метавон дар асоси якрав дифоъ кард, аммо он хилофи қоидаест, ки натиҷаи ба худ тақсим кардани адад ба як баробар аст. Ин рамзҳо ба монанди 0/0, °/° ва монанди инҳо дар ҳисоб комилан, вале комилан фарқ мекунанд. Онҳо маънои ягон ададро надоранд, балки аломатҳои рамзӣ барои пайдарпайии мушаххаси намудҳои муайян мебошанд.
Дар китоби муҳандисии электротехникӣ ман як муқоисаи ҷолиб пайдо кардам: ба сифр тақсим кардан ба мисли қувваи барқи баландшиддат хатарнок аст. Ин муқаррарӣ аст: Қонуни Ом мегӯяд, ки таносуби шиддат ба муқовимат ба ҷараён баробар аст: V = U / R. Агар муқовимат сифр мебуд, ҷараёни аз ҷиҳати назариявӣ беохир тавассути ноқил мегузарад ва ҳамаи ноқилҳои имконпазирро сӯзонд.
Боре дар бораи хатари таќсим ба сифр барои њар рўзи њафта шеър навишта будам. Дар ёд дорам, ки аз ҳама даҳшатовар рӯзи панҷшанбе буд, аммо сад афсӯс барои тамоми кори ман дар ин самт.
Вақте ки шумо чизеро ба сифр тақсим мекунед
Хеле барвакт Душанбе
Ҳафта чӣ рӯй дод
Шумо аллакай ноком шудаед.
Вақте ки нисфирӯзии рӯзи сешанбе
Шумо дар махраҷ сифр мегузоред
Ман ба шумо баъд мегӯям, шумо хато мекунед
Математики бад!
Вақте ки аз сифр, тавассути таҳриф,
Мехоҳед рӯзи чоршанбе ҷудо шавед
Шумо ба душвориҳои зиёд дучор хоҳед шуд
Дар сари шумо хасу об хастед!
Як нафар Бартек бо мо буд.
Вай бо қоидаҳо мухолиф буд.
Рӯзи панҷшанбе он ба сифр тақсим мешавад.
Ӯ дигар байни мо нест!
Агар як хоҳиши аҷиб шуморо фаро гирад
Рӯзи ҷумъа ба сифр тақсим кунед
Ман ростқавлона мегӯям, ростқавлона мегӯям:
Оғози бад ба ин рӯзҳои истироҳат.
Вақте ки он сифр аст, дар ҷое рӯзи шанбе
Тақсимкунанда аз они шумо хоҳад буд (на ғафс)
Дар зери девори калисо зону занед.
Ин эҳёи шумост.
Оё шумо мехоҳед, ки сифр зери тире,
Рӯзи якшанбе истироҳат кунед
Бор, тахтаи сиёҳ биёр.
Нависед: он ба сифр тақсим намешавад!
Сифр бо холӣ ва ҳеҷӣ алоқаманд аст. Воќеан, вай ба математика њамчун миќдоре омад, ки њангоми илова ба ягон чиз онро таѓйир намедињад: x + 0 = x. Аммо ҳоло сифр дар якчанд арзишҳои дигар пайдо мешавад, махсусан ҳамчун оғози миқёс. Агар берун аз тиреза на ҳарорати мусбат бошад ва на шабнам, пас ... ин сифр аст, ки ин маънои онро надорад, ки ҳарорат умуман вуҷуд надорад. Ёдгории синфи нули ёдгорие нест, ки кайхо вайрон шуда бошад ва оддй вучуд надошта бошад. Баръакс, он чизе монанди Вавел, бурҷи Эйфел ва ҳайкали Озодӣ аст.
Хуб, аҳамияти сифрро дар системаи мавқеъӣ базӯр баҳо додан мумкин нест. Оё шумо медонед, хонанда, дар суратҳисоби бонкии Билл Гейтс чанд сифр дорад? Намедонам, аммо ман ним мехоҳам. Аз афташ, Наполеон Бонапарт пай бурд, ки одамон ба сифр монанданд: онҳо тавассути мавқеъ маъно пайдо мекунанд. Дар асари Анджей Важда «Чун солхо, рузхо мегузаранд» рассоми дилчасп Йерзи метаркид: «Филистер сифр аст, нихил, хеч чиз, хеч чиз, нихил, сифр». Аммо сифр метавонад хуб бошад: «тағйирёбии сифр аз меъёр» маънои онро дорад, ки ҳама чиз хуб аст ва онро нигоҳ доред!
Биёед ба математика баргардем. Сифрро бе чазо илова кардан, кам кардан ва зарб кардан мумкин аст. Маня ба Аня мегуяд: «Нул килограмм вазн кардам. "Ва ин ҷолиб аст, зеро ман ҳамон вазнро гум кардам", - ҷавоб медиҳад Аня. Пас биёед шаш бор яхмосро шаш сифр хӯрем, ба мо зарар намерасонад.
Мо наметавонем ба сифр тақсим кунем, аммо мо метавонем ба сифр тақсим кунем. Як табақи самбӯсаи нулиро ба осонӣ ба онҳое, ки интизори хӯрок ҳастанд, додан мумкин аст. Ҳар кадом чанд пул мегиранд?
Сифр мусбат ё манфӣ нест. Ин ва шумораи ғайримусбатӣи ғайриманфӣ. Он нобаробарии x≥0 ва x≤0-ро қонеъ мекунад. Тазоди "чизи мусбат" "чизи манфӣ" нест, балки "чизи манфӣ ё ба сифр баробар" аст. Математикҳо бар хилофи қоидаҳои забон ҳамеша мегӯянд, ки чизе "ба сифр" аст, на "сифр". Барои асоснок кардани ин амал, мо чунин дорем: агар формулаи x = 0 "х сифр аст" -ро хонем, пас х = 1 "х баробар ба як аст" -ро мехонем, ки онро фурӯ бурдан мумкин аст, аммо дар бораи "х = 1534267" чӣ гуфтан мумкин аст? Шумо инчунин наметавонед ба аломати 0 арзиши ададӣ таъин кунед0на сифрро ба қувваи манфӣ баланд накунед. Аз тарафи дигар, шумо метавонед бо хоҳиши худ сифрро решакан кунед ... ва натиҷа ҳамеша сифр хоҳад буд.
Функсияи экспоненсиалӣ y = ax, асоси мусбати а, ҳеҷ гоҳ сифр намешавад. Аз ин бармеояд, ки логарифми сифр вуҷуд надорад. Дарвоқеъ, логарифми а ба пояи b нишондиҳандаест, ки пойгоҳро барои ба даст овардани логарифми а бардоштан лозим аст. Барои a = 0, чунин нишондиҳанда вуҷуд надорад ва сифр асоси логарифм шуда наметавонад. Аммо, сифр дар "маҳраҷ"-и рамзи Нютон чизи дигар аст. Мо чунин мешуморем, ки ин конвенсияхо ба зиддият оварда намерасонанд.
далелҳои бардурӯғ
Тақсим ба сифр як мавзӯи маъмул барои далелҳои бардурӯғ аст ва ин ҳатто бо математикҳои ботаҷриба рӯй медиҳад. Биёед ман ба шумо ду мисоли дӯстдоштаи худро диҳам. Якум алгебра аст. Ман "исбот" мекунам, ки ҳама рақамҳо баробаранд. Фарз мекунем, ки ду адад баробар нестанд. Бинобар ин, яке аз дигараш бузургтар аст, бигзор а > б. Фарз мекунем, ки c фарқияти онҳост
в \uXNUMXd а - б. Пас, мо a - b = c дорем, аз ин ҷо a = b + c.
Мо ҳарду қисми охиринро ба a - b зарб мекунем:
a2 – ab = ab + ac – b2 – аз милод.
Ман ак-ро ба тарафи чап тарҷума мекунам, албатта дар бораи тағир додани аломат дар ёд дорам:
a2 – ab – ac = ab – b2 – аз милод.
Ман омилҳои умумиро истисно мекунам:
A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),
Ман мубодила мекунам ва он чизе ки мехостам, дорам:
а = б.
Ва воқеан ҳатто аҷиб аст, зеро ман тахмин кардам, ки a > b, ва ман фаҳмидам, ки a = b. Агар дар мисоли боло "фиреб" осон аст, пас дар исботи геометрии зер он қадар осон нест. Ман исбот мекунам, ки ... трапеция вуҷуд надорад. Рақаме, ки маъмулан трапеция номида мешавад, вуҷуд надорад.
Аммо аввал фарз кунед, ки чунин чизе ба монанди трапеция вуҷуд дорад (ABCD дар расми зер). Он ду паҳлӯи параллел дорад («пояҳо»). Биёед ин асосҳоро тавре, ки дар расм нишон дода шудааст, дароз кунем, то параллелограмм ба даст орем. Диагоналҳои он диагонали дигари трапецияро ба сегментҳо тақсим мекунанд, ки дарозии онҳо x, y, z, тавре ки дар рақам 1. Аз шабоҳати секунҷаҳои мувофиқ, таносубҳоро ба даст меорем:
ки мо муайян мекунем:
Ҳозир
ки мо муайян мекунем:
Тарафҳои баробарии бо ситорача нишондодашударо тарҳ кунед:
Ҳарду тарафро бо x − z кӯтоҳ карда, мо – a/b = 1-ро ба даст меорем, ки ин маънои онро дорад, ки a + b = 0. Аммо ададҳои a, b дарозии асосҳои трапеция мебошанд. Агар маблағи онҳо сифр бошад, онҳо низ сифр мебошанд. Ин маънои онро дорад, ки рақам ба монанди трапеция вуҷуд дошта наметавонад! Ва азбаски росткунҷаҳо, ромбҳо ва квадратҳо низ трапеция мебошанд, пас, хонандаи азиз, ромбҳо, росткунҷаҳо ва квадратҳо вуҷуд надоранд ...
Тахмин кунед
Мубодилаи иттилоот ҷолибтарин ва душвортарин аз чаҳор фаъолияти асосӣ мебошад. Дар ин ҷо, бори аввал, мо бо як падидае, ки дар синни калонсолӣ маъмул аст, дучор мешавем: "ҷавобро тахмин кунед ва баъд санҷед, ки оё шумо дуруст тахмин кардаед". Инро Даниэл К.Деннетт хеле бамаънӣ ифода кардааст (“Чӣ тавр хато кардан мумкин аст?”, дар How It Is – A Scientific Guide to the Universe, CiS, Warsaw, 1997):
Ин усули "тахмин кардан" ба ҳаёти калонсолони мо халал намерасонад - шояд барои он ки мо онро барвақт омӯхтаем ва тахмин кардан душвор нест. Аз чихати идеявй хамин ходиса, масалан, дар индукцияи математики (пурра) ба амал меояд. Дар ҳамон ҷо, мо формуларо "тахмин мекунем" ва сипас дуруст будани тахмини моро тафтиш мекунем. Донишҷӯён ҳамеша мепурсанд: «Мо намунаро аз куҷо медонистем? Чӣ тавр онро берун кардан мумкин аст?" Вақте ки донишҷӯён ин саволро ба ман медиҳанд, ман саволи онҳоро ба шӯхӣ табдил медиҳам: "Ман инро медонам, зеро ман мутахассис ҳастам, зеро барои донистани ман пул мегиранд". Ба хонандагон дар мактаб бо як услуб, танњо љиддитар љавоб додан мумкин аст.
Машқ. Аҳамият диҳед, ки мо илова ва зарби хаттиро бо воҳиди пасттарин ва тақсимро бо воҳиди баланд оғоз мекунем.
Омезиши ду идея
Муаллимони математика ҳамеша қайд карданд, ки он чизе, ки мо ҷудоии калонсолон меномем, иттиҳоди ду идеяи аз ҷиҳати консептуалӣ гуногун аст: Манзил i ҷудоӣ.
Аввалин (Манзил) дар вазифаҳое рух медиҳад, ки архетипи:
Ҷудо кардан-тақсим кардан Инҳо чунин вазифаҳоянд:
? (Мо сабки аслии ин масъаларо нигоҳ медорем, ки аз дастури Юлиан Згозалевич, ки соли 1892 дар Краков нашр шудааст, гирифта шудааст - zloty zloty ренишӣ мебошад, пуле, ки то ибтидои асри ХNUMX дар Империяи Австро-Венгрия дар муомилот буд).
Акнун ду мушкилотро баррасӣ кунед қадимтарин китоби дарсии математика ба забони полякӣ, падар Томаш Клос (1538). Ин дивизия аст ё купе? Онро тавре ҳал кунед, ки мактаббачагон дар асри XNUMX бояд:
(Тарҷумаи лаҳистонӣ ба лаҳистонӣ: Дар як бочка як кварт ва чор дег ҳаст. Дег чор кварт аст. Касе барои тиҷорат 20 бушка шаробро ба 50 zł харидааст. Боҷ ва андоз (аксиз?) 8 zł мешавад. Чӣ қадар ба як квартро фурӯшед, то 8 zł ба даст оред?)
Варзиш, физика, мувофиқат
Баъзан дар варзиш шумо бояд чизеро ба сифр тақсим кунед (таносуби гол). Хуб, доварон бо кадом роҳе ҳал мекунанд. Аммо, дар алгебраи абстрактӣ онҳо дар рӯзнома ҳастанд. миқдори ғайрисифрки квадраташ сифр аст. Онро ҳатто содда шарҳ додан мумкин аст.
Функсияи F-ро дида бароем, ки нуқтаро (y, 0) бо нуқтаи дар ҳамворӣ (х, у) алоқаманд мекунад. Ф2, яъне ичрои дукаратаи Ф? Функсияи сифр - ҳар як нуқта тасвир дорад (0,0).
Ниҳоят, миқдорҳои ғайрисифрӣ, ки квадраташон 0 аст, қариб нони ҳаррӯзаи физикҳо мебошанд ва ададҳои шакли a + bε, ки дар он ε ≠ 0, аммо ε2 = 0, математикҳо даъват мекунанд рақамҳои дукарата. Онҳо дар таҳлили математикӣ ва геометрияи дифференсиалӣ ба амал меоянд.
Дар ниҳоят, дар арифметика чизе ҳаст, ки ҳадди аққал дар ном ба сифр тақсим карда мешавад. Аз он меояд мувофиқат. Бигзор Z маҷмӯи ададҳоро нишон диҳад. Тақсими маҷмӯи Z ба p маънои онро дорад, ки мо ҳар як ададро (бути) ба баъзеи дигар, яъне ба рақамҳое, ки фарқияти онҳо тақсимшаванда аст, баробар мекунем. Пас, вақте ки мо панҷ намуди ададҳои мувофиқи рақамҳои 0, 1, 2, 3, 4 дорем - боқимондаҳои имконпазир ҳангоми тақсим кардани 5. Формула чунин навишта мешавад:
mod вақте ки фарқият чандкарата аст.
Барои = 2, мо танҳо ду адад дорем: 0 ва 1. Ба ду чунин синф тақсим кардани ададҳо ба тақсими онҳо ба ҷуфт ва тоқ баробар аст. Биёед ҳоло онро иваз кунем. Фарқият ҳамеша ба 1 тақсим мешавад (ҳар як адад ба 1 тақсим карда мешавад). Оё =0 гирифтан мумкин аст? Биёед кӯшиш кунем: кай фарқияти ду адад ба сифр баробар аст? Танҳо вақте ки ин ду рақам баробаранд. Ҳамин тавр, ба сифр тақсим кардани маҷмӯи ададҳо маъно дорад, аммо ин ҷолиб нест: ҳеҷ чиз рӯй намедиҳад. Бо вуҷуди ин, бояд қайд кард, ки ин тақсимоти рақамҳо ба маънои аз мактаби ибтидоӣ маълум нест.
Чунин амалҳо танҳо манъ аст, инчунин математикаи дароз ва васеъ.
Райс. 2. Муайян кардани ададњо бо истифода аз муќоиса
(ҳолати 5 ва ҳолати 2)
