Моделҳои оддӣ бо рафтори мураккаб, яъне бесарусомонӣ

Компютер як асбобест, ки олимон барои ошкор кардани асрори бодиққат пинҳонкардаи табиат истифода мебаранд. Моделсозӣ дар баробари таҷриба ва назария роҳи сеюми омӯзиши ҷаҳон мегардад.

Се сол пеш, дар Донишгоҳи Силезия, мо барномаеро оғоз карда будем, ки усулҳои компютериро ба таълим ворид мекунад. Дар натича бисьёр материалхои дидактикии нихоят шавковар ба вучуд оварда шуданд, ки онхо омухтани бисьёр мавзуъхоро осонтар ва чукуртар мегардонанд. Python ҳамчун воситаи асосӣ интихоб шудааст, ки дар якҷоягӣ бо қудрати китобхонаҳои илмии дастрас, эҳтимолан беҳтарин ҳалли "таҷрибаҳои компютерӣ" бо муодилаҳо, тасвирҳо ё додаҳо мебошад. Яке аз ҷолибтарин татбиқи мизи корӣ Sage мебошад [2]. Ин ҳамгироии кушодаи системаи алгебраи компютерӣ бо забони Python аст ва инчунин ба шумо имкон медиҳад, ки фавран ба бозӣ бо истифода аз браузери веб ва яке аз имконоти дастрас тавассути хидмати абрӣ [3] ё сервери ягонаи ҳисоббарорӣ, ки дар он интерактивӣ нусхаи ин мақола дар асоси [4] .

Бетартибӣ дар экология

Дар соли 1-уми Донишгоҳи Оксфорд олими австралиягӣ Роберт Мэй ҷанбаҳои назариявии динамикаи демографиро меомӯхт. Вай кори худро дар мақолае ҷамъбаст кард, ки дар маҷаллаи Nature таҳти унвони иғвоангези "Моделҳои оддии математикӣ бо динамикаи хеле мураккаб" [XNUMX] чоп шудааст. Дар тӯли солҳо ин мақола яке аз асарҳои бештар истинодшуда дар экологияи назариявӣ гардид. Чунин шавку хавас ба ин кор чй сабаб шуд?

Масъалаи классикии динамикаи популятсия аз он иборат аст, ки шумораи популятсияи ояндаи як намуди муайян бо назардошти ҳолати ҳозираи он ҳисоб карда шавад. Аз ҷиҳати математикӣ экосистема соддатарине ҳисобида мешуд, ки дар он ҳаёти як насли аҳолӣ як мавсим давом мекунад. Мисоли хуб як популятсияи ҳашаротест, ки дар як мавсим метаморфозро аз сар мегузаронанд, ба монанди шабпаракҳо. Вақт табиатан ба давраҳои дискретӣ2 тақсим мешавад, ки ба давраҳои ҳаёти аҳолӣ мувофиқанд. Ҳамин тариқ, муодилаҳое, ки чунин экосистемаро тавсиф мекунанд, табиатан ба ном доранд вақти дискретӣ, яъне. t = 1,2,3…. Роберт Мэй бо чунин динамикӣ, аз ҷумла чизҳои дигар. Дар мулоҳизаҳои худ, ӯ экосистемаро ба як намуд содда кард, ки популятсияаш функсияи квадратии популятсияи соли гузашта буд. Ин модел аз куҷо пайдо шуд?

Соддатарин муодилаи дискретӣ, ки эволютсияи популятсияро тавсиф мекунад, модели хатӣ мебошад:

ки дар он Ни фаровонии мавсими i-ум аст ва Ni + 1 дар мавсими оянда ахолиро тавсиф мекунад. Фаҳмидани он осон аст, ки чунин муодила метавонад ба се сенария оварда расонад. Вақте ки a = 1, эволютсия андозаи популятсияро тағир намедиҳад ва <1 боиси нобудшавӣ мегардад ва ҳолати a > 1 маънои афзоиши номаҳдуди аҳолӣ дорад. Ин боиси номутаносибии табиат мегардад. Азбаски ҳама чиз дар табиат маҳдуд аст, барои ба ҳисоб гирифтани миқдори маҳдуди захираҳо ислоҳ кардани ин муодила маъно дорад. Тасаввур кунед, ки хашароти зараррасон галла мехӯрад, ки ҳар сол маҳз ҳамон аст. Агар ҳашарот дар муқоиса бо миқдори ғизои такрористеҳсолкардаашон кам бошад, онҳо метавонанд бо қудрати пурраи такрористеҳсолкунӣ, ки аз рӯи константа а > 1 муайян карда мешаванд, дубора тавлид карда метавонанд. Аммо дар баробари зиёд шудани шумораи ҳашароти зараррасон ғизо кам мешавад ва қобилияти такрористеҳсолкунӣ кам мешавад. Дар холати танкидй тасаввур кардан мумкин аст, ки хашарот ин кадар зиёд таваллуд мешавад, ки онхо пеш аз он ки барои наслшавй фурсат наёбанд, тамоми галларо мехуранд ва саршумор мемирад. Моделе, ки ин таъсири дастрасии маҳдуд ба ғизоро ба назар мегирад, бори аввал соли 1838 Верхулст пешниҳод карда буд. Дар ин модел суръати афзоиш доимӣ нест, балки аз вазъи аҳолӣ вобаста аст:

Муносибати суръати афзоиши а ва Ни бояд чунин хосият дошта бошад: агар шумораи ахолй зиёд шавад, суръати афзоиш бояд кам шавад, зеро дастраси ба озука душвор аст. Албатта, бо ин хосият бисёр вазифаҳо мавҷуданд: инҳо функсияҳои аз боло ба поён мебошанд. Верхулст муносибатҳои зеринро пешниҳод кард:

ки дар он а>0 ва доимии К>0 захирахои озукавориро тавсиф мекунанд ва онро иктидори мухити зист меноманд. Тағйирёбии К ба суръати афзоиши аҳолӣ чӣ гуна таъсир мерасонад? Агар K зиёд шавад, Ni/K кам мешавад. Дар навбати худ, ин боиси он мегардад, ки 1-Ni/K мерӯяд, яъне мерӯяд. Ин маънои онро дорад, ки суръати афзоиш ва шумораи аҳолӣ босуръат меафзояд. Пас биёед модели пештараро (1) бо фарз кунем, ки суръати афзоиш дар муодилаи (3) таѓйир меёбад. Он гоҳ мо муодиларо мегирем

Ин муодиларо метавон ҳамчун муодилаи рекурсивӣ навишт

ки дар он xi = Ni / K ва xi + 1 = Ni + 1 / K популятсияҳои тағирёфтаро дар вақти i ва дар вақти i + 1 ифода мекунанд. Муодилаи (5) муодилаи логистикӣ номида мешавад.

Чунин ба назар мерасад, ки бо чунин тағироти хурд модели моро таҳлил кардан осон аст. Биёед онро тафтиш кунем. Муодилаи (5)-ро барои параметри a = 0.5 аз саршумори ибтидоии x0 = 0.45 баррасӣ кунед. Бо истифода аз муодилаи рекурсивӣ (5) арзишҳои пайдарпайи популятсияро ба даст овардан мумкин аст:

x₁= табар₀(1₀)

x₂= табар₁(1₁)

x₃= табар₂(1₂)

Барои осон кардани ҳисобҳо дар (6) мо метавонем аз барномаи зерин истифода барем (он дар Python навишта шудааст ва дар қатори чизҳои дигар дар платформаи Sage иҷро карда мешавад. Мо тавсия медиҳем, ки китобро хонед http://icse.us.edu .pl/e-book .), ба модели мо тақлид мекунад:

а = 0.5 x = 0.45 барои i дар диапазон (10):      x \u1d a * x * (XNUMX-x)      чоп x

Мо арзишҳои пайдарпайи xi-ро ҳисоб мекунем ва мушоҳида мекунем, ки онҳо ба сифр майл доранд. Бо таҷриба бо рамзи дар боло овардашуда, инчунин осон аст, ки ин новобаста аз арзиши ибтидоии x0 дуруст аст. Ин маънои онро дорад, ки аҳолӣ пайваста мемирад.

Дар мархалаи дуюми тахлил мо арзиши параметри а-ро ба ягон арзиши диапазони ae (1,3) зиёд мекунем. Маълум мешавад, ки он гох пайдарпаии xi ба андозаи муайян x * > 0 меравад. Инро аз нуктаи назари экология шарх дода, гуфтан мумкин аст, ки шумораи популятсия дар як сатхи муайян мукаррар шудааст, ки аз мавсим ба мавсим тагьир намеёбад. . Бояд қайд кард, ки арзиши x * аз ҳолати ибтидоии x0 вобаста нест. Чунин аст самараи саъю кушиши экосистема барои муътадилшавй — ахолй андозаи худро мувофики кобилияти хурокхурй мутобик мекунад. Аз ҷиҳати математикӣ гуфта мешавад, ки система ба нуқтаи устувори устувор майл дорад, яъне. қонеъ кардани баробарии x = f(x) (ин маънои онро дорад, ки дар лаҳзаи оянда ҳолат ҳамон тавре ки дар лаҳзаи қаблӣ аст). Бо Sage, мо метавонем ин эволютсияро тавассути нақшаи аҳолӣ бо мурури замон ба таври графикӣ тасаввур кунем.

Чунин таъсири устуворкуниро муҳаққиқон интизор буданд ва муодилаи логистикӣ (5) агар ногаҳонӣ намебуд, таваҷҷӯҳи зиёдро ҷалб намекард. Маълум шуд, ки барои арзишҳои муайяни параметр модели (5) ба таври ғайричашмдошт рафтор мекунад. Аввалан, ҳолатҳои даврӣ ва бисёр давравӣ мавҷуданд. Сониян, бо ҳар як қадами вақт шумораи аҳолӣ ба мисли ҳаракати тасодуфӣ нобаробар тағйир меёбад. Сеюм, ба шароити ибтидоӣ ҳассосияти калон вуҷуд дорад: ду ҳолати ибтидоии қариб фарқнашаванда боиси эволютсияи комилан гуногуни аҳолӣ мегардад. Хамаи ин хусусиятхо характеристикаи рафторе мебошанд, ки ба харакати комилан тасодуфй шабохат доранд ва бесарусомонии детерминистй номида мешаванд.

Биёед ин амволро омӯзем!

Аввалан, биёед арзиши параметри a = 3.2 -ро муқаррар кунем ва ба эволютсия назар кунем. Шояд тааҷҷубовар ба назар расад, ки ин дафъа аҳолӣ ба як арзиш не, балки ба ду арзиш мерасад, ки дар ҳар мавсими дуюм пай дар пай рух медиҳанд. Аммо маълум шуд, ки мушкилот бо ин тамом нашудаанд. Бо a = 4, система дигар пешгӯишаванда нест. Биёед ба расми (2) назар андозем, вагарна мо худамон бо ёрии компютер пайдарпаии ададҳоро тавлид мекунем. Чунин ба назар мерасад, ки натиҷаҳо комилан тасодуфӣ ва барои популятсияҳои ибтидоии каме фарқ мекунанд. Бо вуҷуди ин, хонандаи бодиққат бояд эътироз кунад. Чӣ гуна системае, ки бо муодилаи детерминистӣ1 тавсиф шудааст, ҳатто як системаи хеле содда метавонад ғайричашмдошт рафтор кунад? Хуб, шояд.

Хусусияти ин система ҳассосияти назарраси он ба шароити ибтидоӣ мебошад. Бо ду шарти ибтидоӣ оғоз кардан кифоя аст, ки аз як миллионум фарқ мекунанд ва дар тӯли чанд қадам мо арзишҳои комилан гуногуни аҳолиро ба даст меорем. Биёед дар компютер тафтиш кунем:

a = 4.0

x = 0.123 y = 0.123 + 0.000001 PCC = [] барои i дар диапазон (25): x = a*x*(1-x) u = a * u * (1-у) чоп x, y

Ин аст модели оддии эволютсияи детерминистӣ. Аммо ин детерминизм фиребанда аст, он танҳо детерминизми математикист. Аз нуқтаи назари амалӣ, система ғайричашмдошт рафтор мекунад, зеро мо ҳеҷ гоҳ шартҳои ибтидоиро ба таври математикӣ дақиқ муқаррар карда наметавонем. Дарвоқеъ, ҳама чиз бо дақиқии муайян муайян карда мешавад: ҳар як асбоби ченкунӣ дақиқии муайян дорад ва ин метавонад дар системаҳои детерминистӣ, ки моликияти бесарусомонӣ доранд, ғайричашмдошти амалӣ ба вуҷуд ояд. Намунаи моделҳои пешгӯии обу ҳаво мебошад, ки ҳамеша хусусияти бесарусомониро нишон медиҳанд. Ин аст, ки пешгӯиҳои обу ҳаво дар муддати тӯлонӣ хеле бад мебошанд.

Таҳлили системаҳои бесарусомонӣ ниҳоят душвор аст. Бо вуҷуди ин, мо метавонем бисёр асрори бесарусомониро бо ёрии симулятсияҳои компютерӣ ба осонӣ ҳал кунем. Диаграммаи ба ном бифуркатсияро кашем, ки дар он арзишҳои параметри a қад-қади меҳвари абсисса ва нуқтаҳои устувори харитасозии логистикиро дар баробари меҳвари ордината ҷойгир мекунем. Мо тавассути тақлид кардани шумораи зиёди системаҳо дар як вақт ва тарҳрезии арзишҳо пас аз бисёр вақтҳои намунавӣ нуқтаҳои устувор мегирем. Тавре ки шумо гумон мекунед, ин ҳисобҳои зиёдро талаб мекунад. Биёед кӯшиш кунем, ки арзишҳои зеринро бодиққат коркард кунем:

воридоти numpy ҳамчун np Nx = 300 На = 500 х = np.linspace (0,1, Nx) x = x + np.сифрҳо((Na, Nx)) x = np.transpose(x) a=np.linspace(1,4,na) a=a+np.сифрҳо((Nx,Na)) барои i дар диапазон (100): x=a*x*(1-x) pt = [[a_,x_] барои a_,x_ дар zip(a.flatten(),x.flatten())] нуқта (pt, андоза = 1, анҷир = (7,5))

Мо бояд чизе монандро ба расми (3) ба даст орем. Ин расмро чӣ гуна шарҳ додан мумкин аст? Масалан, бо арзиши параметри a = 3.3, мо 2 нуқтаи устувор дорем (ҳаҷми аҳолӣ ҳар мавсими дуюм якхела аст). Аммо барои параметри a = 3.5 мо 4 нуқтаи доимӣ дорем (ҳар мавсими чорум шумораи аҳолӣ якхела аст) ва барои параметри a = 3.56 мо 8 нуқтаи доимӣ дорем (ҳар мавсими ҳаштум шумораи аҳолӣ якхела аст). Аммо барои параметри a≈3.57, мо нуқтаҳои беохири собит дорем (андозаи аҳолӣ ҳеҷ гоҳ такрор намешавад ва бо роҳҳои пешгӯинашаванда тағир меёбад). Аммо бо як барномаи компютерӣ мо метавонем доираи параметри а-ро тағир диҳем ва сохтори беохири геометрии ин диаграммаро бо дастони худ омӯзем.

Ин танҳо нӯги айсберг аст. Дар бораи ин муодила хазорхо маколахои илмй навишта шудаанд, вале он асрори худро то хол пинхон медорад. Бо ёрии симулятсияи компютерӣ, шумо метавонед ҳатто бидуни муроҷиат ба математикаи олӣ, пешрав дар ҷаҳони динамикаи ғайрихаттӣ бозӣ кунед. Мо шуморо даъват менамоем, ки версияи онлайнро хонед, ки дар он тафсилот дар бораи бисёр хосиятҳои ҷолиби муодилаи логистикӣ ва роҳҳои ҷолиби визуалии онҳо мавҷуд аст.

¹ Қонуни детерминистӣ қонунест, ки дар он оянда аз ҷониби ҳолати ибтидоӣ ягона муайян карда мешавад. Антоним қонуни эҳтимолият аст. ² Дар математика, "дискрет" маънои гирифтани арзишҳо аз маҷмӯи муайяни ҳисобшавандаро дорад. Баръакс "давом" аст.