Саёҳат ба ҷаҳони ғайривоқеии математика

Ман ин мақоларо дар яке аз муҳитҳо, пас аз лексия ва амалия дар коллеҷи информатика навиштам. Аз танқиди шогирдони ин мактаб, дониш, муносибати онҳо ба илм ва муҳимтар аз ҳама маҳорати омӯзгории онҳо худро дифоъ мекунам. Ин... ба онхо касе таълим намедихад.

Чаро ман ин қадар дифоъ ҳастам? Бо як сабаби оддӣ - ман дар синну соле ҳастам, ки эҳтимолан ҷаҳони гирду атрофи мо ҳанӯз дарк нашудааст. Шояд ман ба онҳо савор шудан ва ҷудо кардани аспро таълим дода истодаам, на мошин рондан? Шояд ман ба онҳо бо қалам навиштанро ёд диҳам? Ҳарчанд ман дар бораи шахс назари беҳтаре дорам, ман худро "пайравӣ" мешуморам, аммо...

То вактхои охир дар мактаби миёна дар бораи ракамхои комплексй гап мезаданд. Ва маҳз ҳамин рӯзи чоршанбе ман ба хона омадам, тарк кардам - ​​тақрибан ҳеҷ яке аз донишҷӯён то ҳол нафаҳмидаанд, ки ин чист ва чӣ тавр истифода бурдани ин рақамҳо. Баъзеҳо ба ҳама математика мисли гусфанди дари рангшуда нигоҳ мекунанд. Аммо вақте ки онҳо ба ман гуфтанд, ки чӣ тавр омӯхтан лозим аст, ман ҳам дар ҳайрат мондам. Оддй карда гуем, хар як соати лекция ду соати кори хонагиро ташкил медихад: хондани китоби дарсй, омухтани тарзи халли масъалахо аз руи мавзуи додашуда ва гайра. Хамин тавр тайёрй дида, ба машкхо меоем, ки дар он чо хама чизро такмил медихем... Хушбахтона, студентон, аз афташ, фикр мекарданд, ки дар назди лекция нишастан — аксар вакт аз тиреза ба берун нигох кардан — аллакай ба сари дониш дохил шуданро кафолат медихад.

Ист! Ин бас аст. Ман ҷавоби худро ба саволе, ки ҳангоми дарс бо стипендиатҳои Фонди миллии кӯдакон, муассисае, ки кӯдакони боистеъдод аз тамоми гӯшаву канори кишвар дастгирӣ мекунад, гирифтам, шарҳ медиҳам. Савол (ё дурусттараш пешниҳод) ин буд:

— Метавонед дар бораи рақамҳои ғайривоқеӣ чизе бигӯед?

— Албатта, — чавоб додам ман. 

Воқеияти рақамҳо

"Дӯст ман дигар аст, дӯстӣ таносуби рақамҳои 220 ва 284 аст" гуфт Пифагор. Гап дар ин ҷо ин аст, ки ҷамъи тақсимкунандагони рақами 220 ба 284 ва ҷамъи тақсимкунандагони рақами 284 ба 220 баробар аст:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Боз як тасодуфи ҷолиби байни рақамҳои 220 ва 284 ин аст: ҳабдаҳ адади беҳтарини ибтидоӣ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, ва 59.

Ҷамъи онҳо 2x220 ва маблағи квадратҳо 59x284 аст.

Аввал. Мафҳуми "рақами воқеӣ" вуҷуд надорад. Мисли он ки баъд аз хондани мақола дар бораи филҳо мепурсед, ки "Акнун мо аз филҳо талаб мекунем." Тамоми ва ғайрикомил, оқилона ва ғайримантиқӣ ҳастанд, аммо ғайривоқеӣ вуҷуд надоранд. Махсусан: рақамҳое, ки воқеӣ нестанд, беэътибор номида намешаванд. Дар математика намудҳои зиёди «рақамҳо» мавҷуданд ва онҳо аз ҳамдигар фарқ мекунанд, масалан, барои муқоисаи зоологӣ - фил ва кирми заминӣ.

Дуюм, мо амалҳоеро иҷро хоҳем кард, ки шумо аллакай манъ кардаед: истихроҷи решаҳои квадратии рақамҳои манфӣ. Хуб, математика чунин монеаҳоро бартараф хоҳад кард. Оё ин маъно дорад? Дар риёзиёт, чун дар дигар илм, ба хазинаи дониш абадй дохил шудани назария... аз татбики он вобаста аст. Агар бефоида бошад, пас ба ахлот, пас дар баъзе ахлотхои таърихи дониш. Бе рақамҳое, ки ман дар охири ин мақола сухан меронам, математикаро инкишоф додан ғайриимкон аст. Аммо биёед бо баъзе чизҳои хурд оғоз кунем. Шумо медонед, ки рақамҳои воқеӣ чист. Онхо хатти ракамро зич ва бе холй пур мекунанд. Шумо инчунин медонед, ки рақамҳои натуралӣ чӣ гунаанд: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. хотира ҳатто бузургтарин. Онҳо инчунин номи зебо доранд: табиӣ. Онҳо дорои бисёр хосиятҳои ҷолиб мебошанд. Ин ба шумо чӣ гуна маъқул аст:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

Карл Линденхолм ва Леопольд Кронекер (1823—1891) ба таври мухтасар чунин гуфта буд: «Ба ададхои натуралй шавку хавас доштан табиист: «Худо ададхои табииро офарид — хама чиз кори одам аст!». Касрҳо (риёзишиносон рақамҳои оқилона меноманд) инчунин хосиятҳои аҷиб доранд:

ва дар баробари:

шумо метавонед аз тарафи чап сар карда, плюсҳоро молед ва онҳоро бо аломатҳои зарб иваз кунед - ва баробарӣ дуруст боқӣ мемонад:

Ва ҳамин тавр.

Тавре ки шумо медонед, барои касрҳои a/b, ки дар он a ва b ададҳои бутун ва b ≠ 0 мебошанд, мегӯянд рақами оқилона. Аммо танҳо дар Полша онҳо худро чунин меноманд. Онҳо забони англисӣ, фаронсавӣ, олмонӣ ва русиро медонанд. рақами оқилона. Ба забони англисӣ: рақамҳои оқилона. Рақамҳои иррационалӣ беақл аст, ғайримантиқӣ. Мо инчунин ба забони полякӣ дар бораи назарияҳо, идеяҳо ва кирдорҳои беақл ҳарф мезанем - ин девонагӣ, хаёлӣ, нофаҳмо аст. Мегӯянд, ки занҳо аз муш метарсанд - магар ин қадар беақл нест?

Дар замонҳои қадим рақамҳо ҷон доштанд. Ҳар кадом маънои чизеро дошт, ҳар кадоме рамзи чизе буд, ҳар як заррае аз он ҳамоҳангии Коинот, яъне ба юнонӣ, Космосро инъикос мекард. Худи калимаи «космос» махз маънои «тартиб, тартиб»-ро дорад. Муҳимтаринашон шаш (шумораи комил) ва даҳ адад буданд, ки ҷамъи ададҳои пайдарпай 1+2+3+4, ки аз шумораҳои дигар иборатанд, ки рамзи онҳо то имрӯз боқӣ мондааст. Пас Пифагор таълим медод, ки рақамҳо ибтидо ва сарчашмаи ҳама чиз ва танҳо кашфиёт мебошанд рақамҳои иррационалӣ харакати Пифагориёнро ба суи геометрия табдил дод. Мо далели онро аз мактаб медонем

√2 адади иррационалӣ аст

Зеро фарз кунем, ки вуҷуд дорад: ва ин касрро кам кардан мумкин нест. Аз ҷумла, ҳам p ва ҳам q тоқ мебошанд. Биёед мураббаъ кунем: 2q²=p². Шумораи p наметавонад тоқ бошад, аз он вақт инҷониб p² низ хоҳад буд ва тарафи чапи баробарӣ ба 2 баробар аст. Аз ин рӯ, p ҷуфт аст, яъне p = 2r, аз ин рӯ p²= 4r². Мо муодилаи 2q-ро кам мекунем²= 4r² аз ҷониби 2. Мо ба даст q²= 2r² ва мебинем, ки q низ бояд ҷуфт бошад, ки мо гумон кардем, ин тавр нест. Тазоди ба вуқӯъомада далелро пурра мекунад - ин формуларо аксар вақт дар ҳар як китоби математикӣ ёфтан мумкин аст. Ин далели фаврӣ як найранги дӯстдоштаи софистҳост.

Ин беандоза аз ҷониби Пифагориён фаҳмида наметавонист. Ҳама чиз бояд бо рақамҳо тасвир карда шавад ва диагонали мураббаъ, ки ҳар кас метавонад бо чӯб рӯи рег кашад, дарозӣ надорад, яъне ченшаванда. «Имони мо бар абас буд» гуё пифагорчиён мегуянд. Чӣ тавр? Ин як навъ... ғайримантиқӣ аст. Иттифок кушиш мекард, ки худро бо усулхои сектантй начот дихад. Ҳар касе, ки ҷуръат мекунад, ки мавҷудияти худро ошкор кунад рақамҳои иррационалӣ, бояд ба катл чазо дода мешуд ва аз афташ, хукми аввалро худи устод ичро мекард.

Аммо «андеша бетараф гузашт». Давраи тиллоӣ фаро расид. Юнониён бар форсизабонон маглуб шуданд (Марафон 490, блоки 479). Демократия мустахкам гардид, марказхои нави афкори фалсафй ва мактабхои нав ба вучуд омаданд. Пифагориён то ҳол бо рақамҳои беақл мубориза мебурданд. Баъзеҳо мавъиза мекарданд: мо ин асрорро намефаҳмем; мо метавонем танҳо дар бораи Uncharted андеша кунем ва ба ҳайрат орем. Охиринҳо бештар прагматик буданд ва Асрори худро эҳтиром намекарданд. Дар он вакт ду сохти психикй пайдо шуд, ки барои фахмидани ададхои иррационалй имкон медоданд. Далели он, ки мо онҳоро имрӯз ба қадри кофӣ дарк мекунем, ба Евдокс (асри XNUMX пеш аз милод) тааллуқ дорад ва танҳо дар охири асри XNUMX математики олмонӣ Рихард Дедекинд назарияи Евдоксро мувофиқи талаботи риёзӣ инкишоф дод. мантиқи математикӣ.

Миқдори рақамҳо ё шиканҷа

Оё шумо бе рақамҳо зиндагӣ карда метавонед? Ҳатто агар зиндагӣ чӣ мебуд... Мо маҷбур мебудем, ки ба мағоза рафта, пойафзолро бо чӯбчае, ки пеш дарозии пойро чен карда будем, харем. "Ман себ мехоҳам, ин ҷост!" — фурушандахоро дар бозор нишон медодем. "Аз Модлин то Нови Двур Мазовецки чӣ қадар дур аст"? "Хеле наздик!"

Рақамҳо барои андозагирӣ истифода мешаванд. Бо ёрии онхо мо бисьёр мафхумхои дигарро низ баён мекунем. Масалан, миқёси харита нишон медиҳад, ки майдони кишвар чӣ қадар кам шудааст. Миқёси ду ба як ё танҳо 2, далели дучанд шудани андозаро ифода мекунад. Биёед ба таври математикӣ бигӯем: ҳар як якхела ба рақам - шкалаи он мувофиқат мекунад.

Вазифа. Мо як нусхаи ксерографӣ сохтем, ки тасвирро якчанд маротиба калон карда будем. Баъд порчаи калоншуда боз б маротиба калон карда шуд. Миқёси васеъкунии умумӣ чӣ гуна аст? Ҷавоб: a × b зарб ба b. Ин тарозуҳоро зиёд кардан лозим аст. Рақами "минуси як", -1, ба як дақиқии мутамарказ, яъне 180 дараҷа гардишшуда мувофиқат мекунад. Кадом рақам ба гардиши 90 дараҷа мувофиқ аст? Чунин рақам вуҷуд надорад. Ин аст, он аст ... ё на, он ба зудӣ хоҳад буд. Оё шумо ба шиканҷаи ахлоқӣ омодаед? Далер бошед ва решаи квадратии минуси якро гиред. Ман гӯш мекунам? Шумо чӣ карда наметавонед? Охир, гуфтам, ки далер бошй. Онро берун кашед! Эй, хуб, кашед, кашед... Ман кумак мекунам... Ана: -1 Акнун, ки дорем, биёед кӯшиш кунем, ки онро истифода барем... Албатта, ҳоло мо метавонем решаҳои ҳама рақамҳои манфиро ҷудо кунем, зеро мисол .:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

"Новобаста аз дарди равонӣ, ки он меорад." Ин аст он чизе ки Гироламо Кардано дар соли 1539 навишта буд ва кӯшиш кард, ки мушкилоти равониро, ки бо он алоқаманданд, бартараф кунад - чунон ки ба зудӣ номида шуд - миқдорҳои хаёлӣ. Ӯ инҳоро баррасӣ кард ...

...Вазифа. 10-ро ба ду қисм тақсим кунед, ки ҳосили он 40 аст. Дар хотир дорам, ки аз қисмати қаблӣ ӯ чунин навишта буд: Албатта имконнопазир аст. Аммо, биёед ин корро кунем: 10-ро ба ду қисми баробар тақсим кунед, ки ҳар кадомаш ба 5 баробар аст. Зарб кунед - 25 шуд. Аз 25-и натиҷавӣ, ҳоло 40-ро, агар хоҳед, тар кунед ва шумо -15 мегиред. Акнун бубинед: √-15 аз 5 илова ва тар карда, ҳосили 40-ро медиҳад. Инҳо ададҳои 5-√-15 ва 5 + √-15 мебошанд. Санҷиши натиҷа аз ҷониби Cardano чунин сурат гирифт:

«Новобаста аз дарди дил, 5 + √-15-ро ба 5-√-15 зарб кунед. Мо 25 - (-15) мегирем, ки ба 25 + 15 баробар аст. Ҳамин тавр, маҳсулот 40 ... аст. Ин дар ҳақиқат мушкил аст."

Хуб, чанд аст: (1 + √-1) (1-√-1)? зиёд кунем. Дар хотир доред, ки √-1 × √-1 = -1. бузург. Акнун вазифаи душвортар: аз a + b√-1 то ab√-1. Чӣ шуд? Албатта, чунин аст: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Дар ин чӣ ҷолиб аст? Масалан, далели он, ки мо метавонем ибораҳоеро, ки мо "қаблан намедонистем" ҷудо карда метавонем. Формулаи кӯтоҳшудаи зарб барои²-b² Оё шумо формулаи барои²+b² набуд, зеро ин шуда наметавонист. Дар соҳаи ададҳои воқеӣ, полиномӣ²+b² ногузир аст. Решаи квадратии "мо"-и "минуси як"-ро бо ҳарфи i ишора мекунем.²= -1. Ин рақами асосии "ғайривоқеӣ" аст. Ва ин ҳамон чизест, ки гардиши 90 дараҷаи ҳавопайморо тавсиф мекунад. Чаро? Дар поёни кор,²= -1, ва якҷоя кардани як гардиши 90 дараҷа ва гардиши дигари 180 дараҷа гардиши 45 дараҷа медиҳад. Кадом намуди гардиш тавсиф карда мешавад? Аён аст, ки гардиши XNUMX дараҷа. -и чӣ маъно дорад? Ин каме мураккабтар аст:

(-Ман)² = -i × (-i) = + i² = -1

Ҳамин тавр -i инчунин гардиши 90 дараҷаро тавсиф мекунад, танҳо дар самти муқобили гардиши i. Кадомаш чап ва кадомаш рост? Шумо бояд таъинот таъин кунед. Мо тахмин мезанем, ки адади i гардишро дар самте муайян мекунад, ки математикҳо онро мусбат мешуморанд: муқобили ақрабаки соат. Рақами -i гардишро дар самти ҳаракати нишондиҳандаҳо тавсиф мекунад.

Аммо оё рақамҳои монанди i ва -i вуҷуд доранд? ҳастанд! Мо онҳоро танҳо ба ҳаёт овардем. Ман гӯш мекунам? Оё онҳо танҳо дар сари мо вуҷуд доранд? Хуб, чиро интизор шудан мумкин аст? Ҳама рақамҳои дигар низ танҳо дар зеҳни мо вуҷуд доранд. Мо бояд бубинем, ки оё рақамҳои навзоди мо зинда мемонанд. Аниқтараш, оё тарҳ мантиқӣ аст ва оё онҳо барои чизе муфид хоҳанд буд. Лутфан суханони маро қабул кунед, ки ҳама чиз дуруст аст ва ин рақамҳои нав воқеан муфиданд. Рақамҳои монанди 3+i, 5-7i, умуман: a+bi ададҳои мураккаб номида мешаванд. Ман ба шумо нишон додам, ки чӣ тавр шумо онҳоро тавассути чарх задани ҳавопаймо ба даст оварда метавонед. Онҳоро бо роҳҳои гуногун ворид кардан мумкин аст: ҳамчун нуқтаҳои ҳамвор, ҳамчун баъзе полиномҳо, ҳамчун як навъ массивҳои ададӣ ... ва ҳар дафъа онҳо якхелаанд: муодилаи x² +1=0 ягон элемент нест... hocus pocus аллакай вуҷуд дорад!!!! Биёед шоду хурсанд шавем!!!

Анҷоми тур

Бо ин сафари нахустини мо ба кишвари рақамҳои қалбакӣ анҷом меёбад. Аз дигар рақамҳои ғайриоддӣ, ман инчунин рақамҳоеро зикр мекунам, ки дар пеш шумораи беохири рақамҳо доранд, на дар паси онҳо (онҳоро 10-адик меноманд, барои мо p-adic муҳимтар аст, дар он ҷо p рақами ибтидоӣ аст), барои мисол X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Биёед X-ро ҳисоб кунем, лутфан². Зеро? Чӣ мешавад, агар мо квадрати ададро ва пас аз он шумораи беохири рақамҳоро ҳисоб кунем? Хуб, биёед ҳамин тавр кунем. Мо медонем, ки x² = X.

Биёед боз як чунин ададро пайдо кунем, ки дар пеш шумораи беохири рақамҳо дорад, ки муодиларо қонеъ мекунад. Маслиҳат: квадрати рақаме, ки бо шаш тамом мешавад, инчунин бо шаш тамом мешавад. Квадраи ададе, ки бо 76 тамом мешавад, инчунин бо 76 ба охир мерасад. Квадраи ададе, ки бо 376 тамом мешавад, инчунин бо 376 ба охир мерасад. Квадраи ададе, ки бо 9376 тамом мешавад, инчунин бо 9376 ба охир мерасад. XNUMX дар… Рақамҳое низ ҳастанд, ки он қадар хурданд, ки онҳо мусбат буда, нисбат ба дигар рақамҳои мусбӣ хурдтар мемонанд. Онҳо чунон хурд ҳастанд, ки баъзан барои ба даст овардани сифр квадрат кардан кифоя аст. Рақамҳое ҳастанд, ки шарти a × b = b × a-ро қонеъ намекунанд. Рақамҳои беохир низ ҳастанд. Чанд ададҳои табиӣ вуҷуд доранд? Беохир бисёр? Ҳа, аммо чӣ қадар? Чӣ тавр инро ҳамчун рақам ифода кардан мумкин аст? Ҷавоб: хурдтарин ададҳои беохир; бо харфи зебо кайд карда шудааст: А ва бо индекси сифрии А пурра карда шудааст₀ , алеф-сифр.

Рақамҳое низ ҳастанд, ки мо намедонем... ё шумо метавонед ба қадри хоҳишатон бовар кунед ё бовар накунед. Ва сухан дар бораи монанди: Ман умедворам, ки шумо то ҳол Рақамҳои ғайривоқеӣ, Рақамҳои намудҳои фантастикиро дӯст медоред.