Роҳҳо ва теппаҳои геометрӣ
Хангоми навиштани ин макола ман суруди хеле кухнаи Ян Пиетрзакро ба хотир овардам, ки вай пеш аз фаъолияти хачвии худ дар кабиреи «Под Эгида», ки дар Республикаи Халкии Польша хамчун клапан бехатар эътироф шудааст, сурудааст; ба парадоксхои система софдилона ханда кардан мумкин буд. Муаллиф дар ин суруд иштироки сиёсии сотсиалистиро тавсия карда, онҳоеро, ки мехоҳанд бесиёсатӣ кунанд, масхара карда, радиоро дар рӯзнома хомӯш кардааст. "Беҳтар аст, ки ба хондани мактаб баргардед", Петшаки он вақт ХNUMX-сола бо оҳанг месуруд.
Ман ба хондан ба мактаб бармегардам. Ман китоби Щепан Еленский (1881—1949) «Лилавати»-ро (бораи аввал нест) аз нав мутолиа мекунам. Барои шумораи ками хонандагон худи калима чизе мегӯяд. Ин номи духтари риёзидони маъруфи ҳинду маъруф бо номи Бҳаскара (1114-1185) аст, ки Акария ном дорад ё ҳаким аст, ки китоби худро дар бораи алгебра бо ҳамин ном унвон кардааст. Лилавати баъдтар худаш риёзидон ва файласуфи машхур гардид. Тибқи сарчашмаҳои дигар, худи ӯ китобро навиштааст.
Шепан Еленский ба китоби худ оид ба математика (нашри якум, соли 1926) хамин унвон додааст. Шояд ҳатто кори риёзӣ номидан ин китоб душвор бошад - он бештар маҷмӯи муаммоҳо буд ва асосан аз сарчашмаҳои фаронсавӣ дубора навишта шудааст (ҳуқуқи муаллифӣ ба маънои муосир вуҷуд надошт). Дар ҳар сурат, дар тӯли солҳои зиёд он ягона китоби машҳури Лаҳистон оид ба математика буд - баъдтар китоби дуюми Еленский «Шириниҳои Пифагор» ба он илова карда шуд. Ҳамин тавр, ҷавононе, ки ба математика шавқ доштанд (ман ҳамон чизест, ки як вақтҳо будам) чизе барои интихоб надоштанд ...
аз тарафи дигар, «Лилаватй»-ро кариб аз ёд мешинохтан лозим буд... Ах, вактхо буд... Бузургтарин бартарии онхо дар он буд, ки ман... он вакт наврас будам. Имруз ман аз нуктаи назари математики бомаърифат ба Лилаватй тамоман дигар — шояд мисли альпинист дар печи пайраха ба суи Шпигласова Пшеленч нигох мекунам. На яке ва на дигаре чозибаи худро гум намекунад... Щепан Еленский, ки дар хаёти шахсии худ ба истилох идеяхои миллй дорад, бо услуби хоси худ дар мукаддима менависад:
Ба тавсифи хусусиятхои миллй дахл накарда, мегуям, ки бо гузашти навад сол хам суханони Еленский дар бораи математика ахамияти худро гум накардаанд. Математика ба шумо фикр карданро таълим медиҳад. Ин факт аст. Оё мо метавонем ба шумо тарзи фикрронии дигар, соддатар ва зеботарро таълим диҳем? Мумкин ки. Ин танҳо... мо то ҳол наметавонем. Ман ба шогирдонам, ки математика кардан намехоҳанд, мефаҳмонам, ки ин ҳам санҷиши зеҳни онҳост. Агар шумо назарияи риёзии воқеан оддиро омӯхта натавонед, пас... шояд қобилиятҳои равонии шумо бадтар аз он аст, ки ҳардуи мо мехоҳем...?
Аломатҳо дар қум
Ва инак, аввалин достони «Лилавати» — достоне, ки файласуфи фаронсавӣ Ҷозеф де Майстр (1753-1821) тасвир кардааст.
Маллоҳро аз киштии харобшуда мавҷҳо ба соҳили холӣ партофтанд, ки вай онро беодам медонист. Ногаҳон дар регҳои соҳилӣ изи фигури геометриро дид, ки дар пеши касе кашида шудааст. Он вақт ӯ фаҳмид, ки ҷазира холӣ нест!
Еленский аз де Местри иктибос оварда, менависад: расми геометрӣин як ифодаи гунг барои бадбахт, киштии фалокатшуда, тасодуф мебуд, вале бо як нигоҳ таносуб ва шумораро нишон дод ва ин аз одами равшанфикр мужда медод. Ин қадар барои таърих.
Аҳамият диҳед, ки маллоҳ низ ҳамин гуна вокунишро ба вуҷуд меорад, масалан, бо кашидани ҳарфи К, ... ва ҳама гуна осори дигари ҳузури шахс. Дар ин ҷо геометрия идеализатсия карда шудааст.
Бо вуҷуди ин, астроном Камил Фламмарион (1847-1925) пешниҳод кард, ки тамаддунҳо бо истифода аз геометрия аз масофаи дур бо ҳамдигар салом кунанд. Вай дар ин ягона кӯшиши дуруст ва имконпазири муоширатро медид. Биёед ба ин гуна марсихо секунчахои Пифагорро нишон дихем... онхо ба мо бо Фалес чавоб медиханд, мо ба онхо бо накшахои вьета чавоб медихем, доираашон ба секунча мепайвандад, бинобар ин дустй сар шуд...
Жюль Верн ва Станислав Лем барин нависандагон ба ин фикр баргаштанд. Ва дар соли 1972 дар болои зонди «Пионер», ки то хол фазой кайхонро убур мекунад, аз мо кариб 140 вохиди астрономй дур аст (1 I — масофаи миёнаи Замин аз Замин) плитахои дорои накшхои геометрй (ва на танхо) гузошта шуданд. . Офтоб, яъне тақрибан 149 миллион км). Плиткаро қисман астроном Фрэнк Дрейк, созандаи қоидаи баҳсбарангез дар бораи шумораи тамаддунҳои берун аз замин таҳия кардааст.
Геометрия аҷиб аст. Ба хамаи мо нуктаи назари умумии пайдоиши ин илм маълум аст. Мо (мо одамон) ба чен кардани замин (ва баъдтар замин) барои мақсадҳои муфидтарин шурӯъ кардем. Муайян кардани масофахо, кашидани хатхои рост, нишон додани кунчхои рост ва хисоб кардани хачмхо тадричан зарурият гардид. Аз ин рӯ, тамоми кор geometry («Андозаи замин»), аз ин рӯ ҳама математика ...
Аммо ин манзараи равшани таърихи илм чанд вакт моро хира кард. Зеро, агар математика танҳо барои мақсадҳои амалиётӣ лозим мешуд, мо ба исботи теоремаҳои оддӣ машғул намешудем. "Шумо мебинед, ки ин умуман бояд дуруст бошад" гуфт кас пас аз тафтиш, ки дар якчанд секунҷаҳои рост ҷамъи квадратҳои гипотенусҳо ба квадрати гипотенуза баробар аст. Чаро ин гуна формализм?
Пироги олу бояд болаззат бошад, барномаи компютерӣ бояд кор кунад, мошин бояд кор кунад. Агар иќтидори бочкаро сї бор њисоб карда бошаму њамааш ба тартиб омада бошад, пас чаро дигар?
Дар ҳамин ҳол, ба сари юнониёни қадим чунин омад, ки баъзе далелҳои расмиро ёфтан лозим аст.
Ҳамин тариқ, математика аз Фалес (625-547 пеш аз милод) оғоз меёбад. Тахмин меравад, ки ин Милет буд, ки чаро ҳайрон шуд. Барои одамони доно кифоя нест, ки чизе дида бошанд, ба чизе боварй дошта бошанд. Онҳо зарурати исбот, пайдарпайии мантиқии далелҳоро аз тахмин то рисола диданд.
Онҳо ҳам бештар мехостанд. Эҳтимол Фалес буд, ки бори аввал кӯшиш кард, ки ходисаҳои физикиро бидуни дахолати илоҳӣ ба таври табиӣ шарҳ диҳад. Фалсафаи аврупоӣ аз фалсафаи табиат - бо он чизе, ки аллакай дар паси физика қарор дорад (аз ҳамин ҷо номи: метафизика) оғоз ёфт. Аммо асосхои онтология ва натурфалсафаи аврупоиро пифагорчиён (Пифагор, тахминан 580-500 пеш аз милод) гузоштаанд.
Вай мактаби шахсии худро дар Кротоне дар ҷануби нимҷазираи Апеннин таъсис дод - имрӯз мо онро секта меномем. Илм (ба маънои кунунии калима), тасаввуф, дин ва фантазия ҳама бо ҳам зич алоқаманданд. Томас Манн дар романи Доктор Фауст дарсҳои математикаро дар гимназияи олмонӣ хеле зебо пешкаш кардааст. Ин порчаро Мария Курецкая ва Витольд Вирпша тарчума кардаанд:
Дар китоби ҷолиби Чарлз ван Дорен "Таърихи дониш аз субҳи таърих то имрӯз" ман нуқтаи назари хеле ҷолибро пайдо кардам. Муаллиф дар яке аз бобхо ахамияти мактаби Пифагорро тасвир мекунад. Худи унвони боб маро ба ҳайрат овард. Дар он чунин навишта шудааст: «Ихтирои математика: Пифагорчиён».
Мо аксар вақт муҳокима мекунем, ки назарияҳои математикӣ кашф карда мешаванд (масалан, заминҳои номаълум) ё ихтироъ карда мешаванд (масалан, мошинҳое, ки қаблан вуҷуд надоштанд). Баъзе риёзидонҳои эҷодкор худро ҳамчун муҳаққиқ, дигарон ҳамчун ихтироъкорон ё тарроҳон мебинанд, аксар вақт ҳисобкунакҳо мекунанд.
Аммо муаллифи ин китоб дар бораи ихтирои риёзиёт умуман менависад.
Аз муболиға ба гумроҳӣ
Пас аз ин қисми муқаддимавии тӯлонӣ, ман ба ибтидо мегузарам. geometryто тасвир кунад, ки чӣ гуна эътимоди аз ҳад зиёд ба геометрия метавонад олимро гумроҳ кунад. Иоганнес Кеплер дар физика ва астрономия ҳамчун кашфкунандаи се қонуни ҳаракати ҷисмҳои осмонӣ маъруф аст. Аввалан, ҳар як сайёраи системаи Офтоб дар атрофи Офтоб дар мадори эллиптикӣ ҳаракат мекунад ва Офтоб дар яке аз марказҳои худ. Дуюм, дар фосилаҳои муқаррарӣ нури пешбари сайёра, ки аз Офтоб кашида шудааст, майдонҳои баробарро кашида мебарорад. Сеюм, таносуби квадрати давраи гардиши сайёра дар атрофи Офтоб ба мукааби меҳвари ним калони мадори он (яъне масофаи миёна аз Офтоб) барои ҳамаи сайёраҳои системаи Офтоб доимист.
Шояд ин қонуни сеюм буд - барои муқаррар кардани он маълумот ва ҳисобҳои зиёдро талаб мекард, ки Кеплерро водор кард, ки ҷустуҷӯи намунаҳоро дар ҳаракат ва мавқеи сайёраҳо идома диҳад. Таърихи «кашфиёти» нави у хеле ибратбахш аст. Аз замонҳои қадим мо на танҳо ба бисёрсоҳаҳои муқаррарӣ, балки инчунин далелҳоеро, ки нишон медиҳанд, ки дар фазо танҳо панҷтои онҳо вуҷуд доранд, ба ҳайрат меорем. Полихедри сеченака регулятсия номида мешавад, ки агар чеҳраҳои он бисёркунҷаҳои якхелаи муқаррарӣ бошанд ва ҳар як қуллаи якхела миқдори кунҷҳо дошта бошад. Ба таври тасвирӣ, ҳар як гӯшаи полиэдри муқаррарӣ бояд "якхела бошад". Машҳуртарин полиэдр куб аст. Хама як пояи оддиро дидаанд.
Тетраэдри муқаррарӣ камтар маълум аст ва дар мактаб онро пирамидаи секунҷаи муқаррарӣ меноманд. Он ба пирамида монанд аст. Се полихедраи боқимонда камтар маълуманд. Вақте ки мо марказҳои кунҷҳои кубро пайваст мекунем, октаэдр ба вуҷуд меояд. Додекаэдр ва икосаэдр аллакай ба туб монанданд. Аз чарми мулоим сохта шуда буданд, барои кофтани онхо кулай мебуд. Далел дар бораи он, ки ба ғайр аз панҷ ҷисми сахти Платонӣ дигар polyhedra муқаррарӣ вуҷуд надорад, хеле хуб аст. Аввалан, мо мефаҳмем, ки агар ҷисм мунтазам бошад, пас бояд дар ҳар як қуллаи якхела шумораи (q) бисёркунҷаҳои якхела ба ҳам наздик шаванд, бигзор инҳо кунҷҳои p бошанд. Акнун мо бояд дар хотир дошта бошем, ки кунҷ дар бисёркунҷаи муқаррарӣ чӣ гуна аст. Агар касе аз мактаб ёд накунад, мо ба шумо хотиррасон мекунем, ки чӣ гуна намунаи дурустро пайдо кунед. Мо дар атрофи кунҷ сафар кардем. Дар ҳар як кунҷ мо аз ҳамон кунҷи а давр мезанем. Вақте ки мо дар атрофи бисёркунҷа давр мезанем ва ба нуқтаи ибтидоӣ бармегардем, мо p чунин гардишҳо кардем ва дар маҷмӯъ мо 360 дараҷа гардиш кардем.
Аммо α 180 дараҷа пурракунандаи кунҷест, ки мо мехоҳем ҳисоб кунем ва аз ин рӯ
Мо формулаи кунҷи (математик мегӯяд: ченакҳои кунҷ) бисёркунҷаи муқаррариро ёфтем. Биёед тафтиш кунем: дар секунҷаи p = 3, а вуҷуд надорад
Ҳамин тавр. Вақте ки p = 4 (мураббаъ), пас
дараҷаҳо низ хуб аст.
Мо барои панчкунча чй мегирем? Пас, вақте ки q бисёркунҷаҳо мавҷуданд, ки ҳар як p кунҷҳои якхела доранд, чӣ мешавад
дараҷаҳо дар як қулла паст мешаванд? Агар он дар як ҳавопаймо мебуд, кунҷе ба вуҷуд меояд
дараҷа ва наметавонад аз 360 дараҷа зиёд бошад - зеро он гоҳ бисёркунҷаҳо ба ҳам меоянд.
Аммо, азбаски ин бисёркунҷаҳо дар фазо вомехӯранд, кунҷ бояд аз кунҷи пурра камтар бошад.
Ва ин аст нобаробарӣ, ки ҳамааш аз он бармеояд:
Онро ба 180 тақсим кунед, ҳарду қисмро ба p зарб кунед, тартиб (p-2) (q-2) < 4. Чӣ мешавад? Биёед бифаҳмем, ки p ва q бояд ададҳои натуралӣ бошанд ва p > 2 (чаро? Ва p чист?) ва инчунин q > 2. Роҳҳои зиёде барои ҳосил кардани ҳосили ду адади табиӣ аз 4 кам нестанд. ҳамаи онҳоро дар ҷадвали 1 номбар мекунам.
Ман наќшањоро нашр намекунам, ин раќамњоро њама метавонанд дар интернет бубинанд... Дар интернет... Ман аз як дурнамои лирикї даст намекашам – шояд барои хонандагони љавон љолиб бошад. Соли 1970 ман дар семинар баромад кардам. Мавзӯъ мушкил буд. Барои омодагӣ вақти кам доштам, шомгоҳон менишастам. Мақолаи асосӣ танҳо барои хондан дар ҷои худ буд. Ҷои бароҳат буд, бо фазои корӣ, хуб, он дар ҳафт баста шуд. Сипас, худи арӯс (ҳоло зани ман) пешниҳод кард, ки тамоми мақоларо барои ман аз нав нависам: тақрибан даҳ саҳифаи чопӣ. Ман онро нусхабардорӣ кардам (не, бо қалам не, ҳатто қалам доштем), лексия бомуваффақият гузашт. Имрӯз кӯшиш кардам, ки ин нашрияро, ки аллакай кӯҳна шудааст, пайдо кунам. Факат номи муаллиф дар ёдам мондааст... Чустучухо дар интернет муддати дароз давом карданд... понздах дакикаи пурра. Ман дар ин бора бо табассум ва андаке таассуфи беасос фикр мекунам.
Мо бармегардем Кеплера ва геометрия. Эҳтимол, Афлотун мавҷудияти шакли панҷуми муқаррариро пешгӯӣ карда буд, зеро вай чизи муттаҳидкунанда, ки тамоми ҷаҳонро фаро мегирад, надошт. Шояд барои ҳамин ӯ ба як донишҷӯ (Theajtet) дастур дод, ки ӯро ҷустуҷӯ кунад. Чунон ки буд, чунин буд, ки дар асоси он додекаэдр кашф карда шуд. Мо ин муносибати Афлотунро пантеизм меномем. Ҳама олимон, то Нютон, ба андозаи кам ё бештар ба он тоб овардаанд. Аз асри XVIII хеле оқилона, таъсири он ба таври назаррас коҳиш ёфт, гарчанде ки мо набояд аз он шарм кунем, ки ҳамаи мо ба ин ё он роҳ таслим мешавем.
Дар концепцияи Кеплер дар бораи сохтани системаи офтобй хама чиз дуруст буд, маълумотхои тачрибавй бо назария мувофик меомаданд, назария аз чихати мантикй мувофик, хеле зебо буд... вале тамоман дуруг буд. Дар замони ӯ танҳо шаш сайёра маълум буд: Меркурий, Зуҳра, Замин, Миррих, Муштарӣ ва Сатурн. Чаро танҳо шаш сайёра вуҷуд дорад? — пурсид Кеплер. Ва кадом қонуният масофаи онҳоро аз Офтоб муайян мекунад? У тахмин мекард, ки хама чиз ба хам вобаста аст, ки геометрия ва космогония бо хамдигар алокаи зич доранд. Аз навиштаҳои юнониёни қадим, ӯ медонист, ки ҳамагӣ панҷ полиэдраҳои муқаррарӣ вуҷуд доранд. Дид, ки дар байни шаш мадор панч хол аст. Пас, шояд ҳар яке аз ин фазои озод ба ягон полиэдри муқаррарӣ мувофиқат кунад?
Пас аз чанд соли мушохида ва кори назариявй у назарияи зеринро ба вучуд овард, ки бо ёрии он андозахои мадорхоро комилан дуруст хисоб кард, ки вай дар китоби «Mysterium Cosmographicum», ки соли 1596 нашр шудааст, пешниход кардааст: Кураи азимро тасаввур кунед, ки диаметри он диаметри мадори Меркурий дар харакати солонааш дар атрофи Офтоб аст. Пас тасаввур кунед, ки дар ин сфера як октаэдри мукаммал, дар болои он кура, бар он икосадр, дар он боз кура, дар он додекаэдр, дар болои он кураи дигар, дар он тетраэдр, боз як кура, куб. ва, нихоят, дар ин мукааб туб тасвир карда мешавад.
Кеплер ба хулосае омад, ки диаметрхои ин курахои пай дар пай диаметри мадори сайёрахои дигар: Меркурий, Зухра, Замин, Миррих, Муштарй ва Сатурн мебошанд. Ба назар чунин менамуд, ки назария хеле дуруст аст. Мутаассифона, ин бо маълумоти таҷрибавӣ мувофиқат кард. Ва чӣ далели беҳтари дурустии назарияи риёзӣ аз мувофиқати он бо маълумоти таҷрибавӣ ё маълумоти мушоҳидавӣ, махсусан «аз осмон гирифташуда» аст? Ман ин ҳисобҳоро дар ҷадвали 2 ҷамъбаст мекунам. Пас, Кеплер чӣ кор кард? Ман кӯшиш кардам ва кӯшиш кардам, то он даме, ки он кор кунад, яъне вақте ки конфигуратсия (тартиби сфераҳо) ва ҳисобҳои натиҷавӣ бо маълумоти мушоҳида мувофиқат кунанд. Инҳо рақамҳо ва ҳисобҳои муосири Кеплер мебошанд:
Кас ба мафтуни назария таслим шуда, бовар кардан мумкин аст, ки ченакхо дар осмон нодурустанд, на хисобхои дар хомушии устохона. Мутаассифона, имрӯз мо медонем, ки ҳадди аққал нӯҳ сайёра вуҷуд дорад ва ҳама тасодуфҳои натиҷаҳо танҳо як тасодуфанд. Афсус. Он қадар зебо буд...
