тӯмори баръакс

Дар бораи «чазои зиддиятҳо» бисёр ҳарф мезананд, на танҳо дар математика. Дар хотир доред, ки рақамҳои муқобил рақамҳое мебошанд, ки танҳо бо аломати фарқ мекунанд: ҷамъи 7 ва минуси 7. Маблағи ададҳои муқобил ба сифр баробар аст. Аммо барои мо (яъне риёзидон) муқовиматҳо ҷолибтаранд. Агар ҳосили ададҳо ба 1 баробар бошад, ин рақамҳо ба ҳамдигар баръакс мебошанд. Ҳар рақам муқобили худро дорад, ҳар як рақами ғайри сифр баръакси худро дорад. Муносибати мутақобила тухм аст.

Инверсия дар ҳар ҷое рух медиҳад, ки ду миқдор бо ҳам алоқаманданд, то ки агар яке зиёд шавад, дигаре бо суръати мувофиқ кам мешавад. "Мувофиқ" маънои онро дорад, ки ҳосили ин миқдорҳо тағир намеёбад. Мо аз мактаб дар хотир дорем: ин таносуби баръакс аст. Агар ман хоҳам, ки ба ҷои таъиншуда ду маротиба зудтар расам (яъне вақтро ду маротиба кам кунам), ман бояд суръати худро дучанд кунам. Агар њаљми зарфи мўњрдор бо газ n маротиба кам карда шавад, пас фишори он n маротиба зиёд мешавад.

Дар тањсилоти ибтидої мо муќоисањои дифференсиалї ва нисбиро бодиќќат фарќ мекунем. "Чанд қадар бештар"? - "Чанд маротиба бештар?"

Инҳоянд баъзе чорабиниҳои мактабӣ:

Вазифаи 1. Аз ду ќимати мусбї, якум аз дуюм 5 маротиба ва дар айни замон 5 маротиба аз якум зиёд аст. Андозаҳо чист?

Вазифаи 2. Агар як адад аз дуюм 3 ва дуюм аз сеюм 2 зиёд бошад, адади якум аз сеюм чӣ қадар зиёд аст? Агар адади мусбати якум ду маротиба дуюм ва адади якум се маротиба ба сеюм бошад, адади якум аз сеюм чанд маротиба зиёд аст?

Вазифаи 3. Дар вазифаи 2 танҳо рақамҳои натуралӣ иҷозат дода мешаванд. Оё чунин тартибе, ки дар он ҷо тавсиф шудааст, имконпазир аст?

Вазифаи 4. Аз ду қимати мусбӣ аввал 5 маротиба дуюм ва дуюм 5 маротиба аввал аст. Мумкин ки?

Мафҳуми «миёна» ё «миёна» хеле содда менамояд. Агар ман рӯзи душанбе 55 км, рӯзи сешанбе 45 км ва рӯзи чоршанбе 80 км велосипед тай карда бошам, ба ҳисоби миёна дар як рӯз 60 км велосипед тай кардам. Мо бо ин хисобхо самимона розй мешавем, гарчанде ки онхо андаке ачоибанд, зеро дар як руз 60 километр рохро тай накардаам. Мо хам ба осонй сахми одамро кабул мекунем: агар дар давоми шаш руз дусад кас ба ресторан равад, пас ставкаи миёнаи шабонаруз 33 нафар ва сеюмин касро ташкил медихад. ХМ!

Танҳо бо андозаи миёна мушкилот вуҷуд доранд. Ман велосипедро дӯст медорам. Аз ин рӯ, ман аз пешниҳоди ширкати сайёҳии «Биёед бо мо меравем» истифода бурдам - ​​онҳо бағоҷро ба меҳмонхона меоранд, ки муштарӣ дар он ҷо бо мақсади фароғат велосипед савор мешавад. Рузи чумъа чор соат мошин рондам: дутои аввал бо суръати 24 километр дар як соат. Пас аз он ман чунон хаста шудам, ки дар давоми дуи оянда ҳамагӣ 16 дар як соат. Суръати миёнаи ман чанд буд? Албатта (24+16)/2=20км=20км/соат.

Аммо рӯзи шанбе бағоҷ дар меҳмонхона монда буд ва ман ба дидани харобаҳои қалъа, ки 24 километр дур аст, рафтам ва онҳоро дида баргаштам. Ман як соат ба як самт рондам, оҳистатар баргаштам, бо суръати 16 км дар як соат. Суръати миёнаи ман дар масири меҳмонхона-қалъа-меҳмонхона чӣ қадар буд? 20 км дар як соат? Албатта на. Охир, ман ҳамагӣ 48 км роҳро тай кардам ва як соат («онҷо») ва якуним соат баргаштам. 48 километрро дар дуюним соат тай кард, яъне. соат 48/2,5=192/10=19,2 км! Дар ин ҳолат суръати миёна на миёнаи арифметикӣ, балки гармоникаи арзишҳои додашуда мебошад:

ва ин формулаи дуошёнаро ба таври зайл хондан мумкин аст: миёнаи гармоникии ададхои мусбат ба мукобили миёнаи арифметикии мукобилати онхо мебошад. Дар бисьёр хорхои супо-ришхои мактабй мукобилати чамъ-басти баръакс пайдо мешавад: агар як коргар соат кофта бошад, дигараш — б соат, пас якчоя кор карда, дар вакташ кофта мебароянд. ҳавзи обӣ (яке дар як соат, дигаре дар соати б). Агар як резистор R1 ва дигаре R2 дошта бошад, пас онҳо муқовимати параллелӣ доранд. 

Агар як компютер як масъаларо дар тӯли сонияҳо ҳал кунад, компютери дигар дар б сония, пас вақте ки онҳо якҷоя кор мекунанд...

Ист! Ин аст, ки аналогия ба охир мерасад, зеро ҳама чиз аз суръати шабака вобаста аст: самаранокии пайвастшавӣ. Коргарон инчунин метавонанд ба якдигар халал расонанд ё ба якдигар ёрй расонанд. Агар як одам дар ҳашт соат чоҳ кофта тавонад, оё ҳаштод нафар коргар ин корро дар 1/10 соат (ё 6 дақиқа) анҷом медиҳад? Агар шаш нафар дарбон фортепианоро дар 6 дақиқа ба ошёнаи якум баранд, пас яке аз онҳо барои ба ошёнаи шастум расонидани пианино чанд вақт лозим аст? Бемаънӣ будани ин гуна масъалаҳо маҳдуд будани татбиқи тамоми математикаро ба масъалаҳои «аз ҳаёт» ба хотир меорад.

Дар бораи як фурӯшандаи пурқувват 

Тарозуҳо дигар истифода намешаванд. Ёдовар мешавем, ки дар як коса аз чунин тарозуҳо вазн мегузориданд ва моли баркашандаро ба дигараш мегузориданд ва вақте ки вазн дар мувозинат буд, он гоҳ мол ба андозаи вазн мерасид. Албатта, ҳарду бозуи бори вазн бояд якхела бошад, вагарна вазнкашӣ нодуруст хоҳад буд.

Оҳ рост. Тасаввур кунед, ки фурӯшандае вазн дорад, ки фишанги нобаробар дорад. Бо вучуди ин, вай мехохад бо харидорон софдилона бошад ва молро дар ду даста баркашад. Аввал ба як табак вазн, ба тарафи дигар микдори мувофик мол мегузорад, то ки тарозу мувозина бошад. Баъд «ним»-и дуюми молро бо тартиби баръакс баркаш мекунад, яъне вазнро ба косаи дуюм, молро ба якум мегузорад. Азбаски дастҳо нобаробаранд, "нимҳо" ҳеҷ гоҳ баробар нестанд. Ва вичдони фурушанда пок аст ва харидорон поквичдони уро таъриф мекунанд: «Он чиро, ки аз ин чо дур кардам, баъд илова кардам».

Бо вуҷуди ин, биёед ба рафтори фурӯшандае, ки мехоҳад, сарфи назар аз вазни ноустувор ростқавл бошад, бодиққат дида бароем. Бигзор дастаҳои мувозина дарозии a ва b дошта бошанд. Агар ба яке аз косахо вазни килограмм ва ба дигараш мол бор карда шуда бошад, пас тарозухо дар мувозинат карор доранд, агар бори аввал ax = b ва бори дуюм bx = a бошад. Инак, кисми якуми мол ба б/килограмм, кисми дуюм а/б аст. Вазни хуб дорои а = b аст, бинобар ин харидор 2 кг мол мегирад. Биёед бубинем, ки ҳангоми a ≠ b чӣ мешавад. Пас a – b ≠ 0 ва аз формулаи зарби камшуда мо дорем

Мо ба натицаи гайричашмдошт омадем: усули ба назар одилонаи «миёна» ченкунй дар ин маврид ба манфиати харидоре кор мекунад, ки вай бештар мол мегирад.

Вазифаи 5. (Муҳим, ба ҳеҷ ваҷҳ дар математика!). Вазни як магас 2,5 миллиграмм ва фил панҷ тонна (ин маълумоти комилан дуруст аст). Миёнаи арифметикӣ, миёнаи геометрӣ ва гармоникии массаҳои магас ва филро (вазнҳоро) ҳисоб кунед. Ҳисобҳоро тафтиш кунед ва бубинед, ки онҳо ба ғайр аз машқҳои арифметикӣ ягон маъно доранд. Биёед мисолҳои дигари ҳисобҳои математикиро бубинем, ки дар "ҳаёти воқеӣ" маъно надоранд. Маслиҳат: Мо аллакай як мисолро дар ин мақола дида баромадем. Оё ин маънои онро дорад, ки як донишҷӯи номаълуме, ки ман дар Интернет ақидаашро ёфтам, дуруст буд: "Математика одамонро бо рақамҳо фиреб медиҳад"?

Бале, ман розӣ ҳастам, ки дар бузургии математика шумо метавонед одамонро "беақл кунед" - ҳар як таблиғи дуюми шампун мегӯяд, ки он пашшаро то андозае зиёд мекунад. Оё мо дигар мисолҳои воситаҳои муфиди ҳаррӯзаро, ки метавонанд барои амалиёти ҷиноятӣ истифода шаванд, ҷустуҷӯ кунем?

Граммҳо!

Сарлавҳаи ин порча феъл (ҷамъи шахси аввал) аст, на исм (ҷамъи номии ҳазоряки килограмм). Гармония тартиб ва мусиқиро дар назар дорад. Барои юнониёни ќадим мусиќї як соњаи илм буд – бояд эътироф кард, ки агар чунин бигўем, мо маънои имрўзаи калимаи «илм»-ро ба замони пеш аз эраи мо мегузарем. Пифагор дар асри XNUMX пеш аз милод зиндагӣ мекард.Вай на танҳо компютер, телефони мобилӣ ва почтаи электрониро намедонист, балки Роберт Левандовски, Миеско I, Карл ва Сицерон кист, намедонист. Вай на рақамҳои арабӣ ва на ҳатто рақамҳои римиро намедонист (онҳо тақрибан дар асри XNUMX пеш аз милод ба кор даромаданд), ӯ намедонист, ки ҷангҳои Пуни чӣ буданд ... Аммо ӯ мусиқиро медонист ...

Вай медонист, ки дар асбобхои тордор коэффициентхои ларзиш ба дарозии кисмхои ларзиши торхо мутаносибан баръакс мебошанд. Вай медонист, медонист, вай инро тавре ифода карда наметавонист, ки мо имрӯз онро иҷро мекунем.

Басомадҳои ду ларзиши сатр, ки октаваро ташкил медиҳанд, дар таносуби 1:2 мебошанд, яъне басомади нота баландтар аз басомади нотаи поёнӣ ду маротиба зиёд аст. Таносуби дурусти ларзиш барои панҷум 2:3, чорум 3:4, сеюми холис 4:5, сеюми хурд 5:6 аст. Инҳо фосилаҳои ҳамсадоҳои гуворо мебошанд. Пас аз он ду бетараф, бо таносуби ларзиш 6:7 ва 7:8, баъд диссонантикӣ – оҳанги калон (8:9), оҳанги хурд (9:10) мавҷуданд. Ин фраксияҳо (таносубҳо) ба таносуби аъзои пайдарпайи пайдарпай монанданд, ки математикҳо (аз ҳамин сабаб) силсилаи гармоникӣ меноманд:

маблағи аз ҷиҳати назариявӣ беохир аст. Таносуби ларзишҳои октаваро метавон 2:4 навишт ва дар байни онҳо як панҷумро гузорем: 2:3:4, яъне октаваро ба панҷум ва чорум тақсим мекунем. Инро дар математика тақсимоти сегменти гармоникӣ меноманд:

Райс. 1. Барои навозанда: тақсими октаваи АВ ба АС панҷум.Барои математик: Сегментацияи гармоникӣ

Вақте ки ман (боло) дар бораи маблағи аз ҷиҳати назариявӣ беохир, ба монанди силсилаи гармоникӣ сухан меронам, ман чиро дар назар дорам? Маълум мешавад, ки ин гуна маблаг хар гуна ракамхои калон шуда метавонад, чизи асосй он аст, ки мо барои муддати дароз илова мекунем. Компонентҳо кам ва камтаранд, аммо онҳо бештар ва бештар ҳастанд. Чӣ бартарӣ дорад? Дар ин ҷо мо ба соҳаи таҳлили математикӣ ворид мешавем. Маълум мешавад, ки компонентҳо тамом мешаванд, аммо на он қадар зуд. Ман нишон медиҳам, ки бо назардошти компонентҳои кофӣ, ман метавонам ҷамъбаст кунам:

худсарона калон. Биёед "масалан" n = 1024-ро гирем. Биёед калимаҳоро тавре ки дар расм нишон дода шудааст, гурӯҳбандӣ кунем:

Дар ҳар як қавс ҳар як калима аз калимаи қаблӣ бузургтар аст, ба истиснои калимаи охирин, ки ба худ баробар аст. Дар қавсҳои зерин мо ҷузъҳои 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ва 512 дорем; арзиши маблағи дар ҳар як қавс аз ½ зиёд аст. Хамаи ин зиёда аз 5½ аст. Ҳисобҳои дақиқтар нишон медиҳанд, ки ин маблағ тақрибан 7,50918 аст. На он қадар зиёд, аммо ҳамеша, ва шумо мебинед, ки бо гирифтани n ягон калон, ман метавонам аз ҳама рақамҳо бартарӣ дошта бошам. Ин бениҳоят суст (масалан, мо танҳо бо ингредиентҳо даҳгонаро дарбар мегирем), аммо афзоиши беохир ҳамеша математикҳоро ба ваҷд меовард.

Саёҳат ба беохир бо силсилаи гармоникӣ

Дар ин ҷо як муаммои математикаи хеле ҷиддӣ аст. Мо таъминоти номаҳдуди блокҳои росткунҷае дорем (чӣ метавонам бигӯям, росткунҷа!) бо андозаҳо, масалан, 4 × 2 × 1. Системаеро баррасӣ кунед, ки аз якчанд (дар) иборат аст. анҷир. 2 - чор) блокҳое, ки тавре ҷойгир шудаанд, ки якум ба ½ дарозии он, дуюм аз боло ба ¼ ва ғайра, сеюм ба як шашяк моил бошад. Хуб, шояд барои он ки дар ҳақиқат устувор бошад, биёед хишти аввалро каме камтар хам кунем. Барои ҳисобҳо муҳим нест.

Райс. 2. Муайян кардани маркази вазнинии

Инчунин фаҳмидан осон аст, ки азбаски фигураи аз ду блоки аввал иборат аст (аз боло ҳисоб карда мешавад) дар нуқтаи В маркази симметрия дорад, пас B маркази вазнинӣ мебошад. Биёед маркази вазнинии системаро, ки аз се блоки боло иборат аст, аз ҷиҳати геометрӣ муайян кунем. Дар ин чо як далели хеле содда кифоя аст. Таркиби себлокро фикран ба ду болой ва сеюми поёнй таксим кунем. Ин марказ бояд дар қисмате ҷойгир бошад, ки марказҳои вазнинии ду қисмро мепайвандад. Дар кадом лаҳза дар ин эпизод?

Ду роҳи таъин кардан вуҷуд дорад. Дар аввал, мо мушоҳидаро истифода мебарем, ки ин марказ бояд дар мобайни пирамидаи се блок, яъне дар хати росте, ки блоки дуюм, миёнаро бурида мегузарад, ҷойгир бошад. Бо роҳи дуюм, мо мефаҳмем, ки азбаски ду блоки боло массаи умумии як блоки ягонаи №3 (боло) ду маротиба зиёд аст, маркази вазнинии ин қисм бояд ба B ду маротиба наздиктар бошад, зеро он ба марказ аст. S блоки сеюм. Ба хамин тарик, нуктаи навбатиро меёбем: маркази пайдошудаи се блокро бо маркази S блоки чорум пайваст мекунем. Маркази тамоми система дар баландии 2 ва дар нуқтае ҷойгир аст, ки сегментро ба 1 то 3 тақсим мекунад (яъне ба ¾ дарозии он).

Ҳисобҳое, ки мо каме минбаъд иҷро хоҳем кард, ба натиҷае оварда мерасонад, ки дар расм нишон дода шудааст. расми 3. Марказҳои пайдарпайи вазнинӣ аз канори рости блоки поёнӣ бо роҳи зерин хориҷ карда мешаванд:

Ҳамин тариқ, проекцияи маркази вазнинии пирамида ҳамеша дар дохили пойгоҳ аст. Манора чаппа нахоҳад шуд. Акнун биёед бубинем анҷир. 3 ва як лаҳза, биёед блоки панҷумро аз боло ҳамчун асос истифода барем (касе, ки бо ранги равшантар ишора шудааст). Моилҳои боло:

ҳамин тавр, канори чапи он аз канори рости пойгоҳ 1 дуртар аст. Ин аст гардиши навбатӣ:

Бузургтарин чархиш чист? Мо аллакай медонем! Бузургтарин нест! Ҳатто хурдтарин блокҳоро гирифта, шумо метавонед як километрро ба даст оред - мутаассифона, танҳо аз ҷиҳати математикӣ: тамоми Замин барои сохтани ин қадар блокҳо кофӣ нест!

Райс. 3. Блокҳои бештар илова кунед

Ҳоло ҳисобҳое, ки мо дар боло гузоштаем. Мо ҳама масофаҳоро дар меҳвари x "уфуқӣ" ҳисоб мекунем, зеро ин ҳама чиз аст. Нуқтаи А (маркази вазнинии блоки якум) 1/2 аз канори рост аст. Нуқтаи В (маркази системаи ду блок) аз канори рости блоки дуюм 1/4 дуртар ҷойгир аст. Бигзор нуқтаи ибтидоӣ охири блоки дуюм бошад (ҳоло мо ба сеюм мегузарем). Масалан, маркази вазнинии як блоки №3 дар куҷост? Аз ин рӯ, нисфи дарозии ин блок аз нуқтаи истинод ба мо 1/2 + 1/4 = 3/4 аст. Нуқтаи C дар куҷост? Дар се ду ҳиссаи сегмент байни 3/4 ва 1/4, яъне дар нуқтаи пеш, мо нуқтаи истинодро ба канори рости блоки сеюм иваз мекунем. Маркази вазнинии системаи се блок акнун аз нуқтаи нави истинод хориҷ карда мешавад ва ғайра. Маркази вазнинии C_n манорае, ки аз n блок иборат аст, 1/2n дуртар аз нуқтаи истиноди фаврӣ ҷойгир аст, ки канори рости блоки асосӣ, яъне блоки n-ум аз боло аст.

Азбаски силсилаи мутақобила фарқ мекунад, мо метавонем ҳама гуна варианти калон ба даст орем. Оё ин воқеан метавонад амалӣ карда шавад? Он мисли манораи беохири хишт — дер ё зуд зери вазни худ фуру меравад. Дар нақшаи мо, ҳадди ақали носаҳеҳӣ дар ҷойгиркунии блок (ва афзоиши сусти маблағи қисман силсила) маънои онро дорад, ки мо хеле дур намеравем.